Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)e^{x}f\left(x\right)dx$ 

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\Rightarrow du=f^{\text{'}}\left(x\right)\text{dx}\\ dv=(x+1).e^x\text{dx}\Rightarrow v=x.e^x\end{array}\right.$ 

 $\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}(x+1)e^{x}f\left(x\right)dx$ $=x.e^x.f\left(x\right)\overline{)\underset{0}{\overset{1}{}}}-\underset{0}{\overset{1}{\int }}x.e^x.f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\frac{e^2-1}{4}$ 

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}x.e^x.f^{\text{'}}\left(x\right)\text{dx}=-\frac{e^2-1}{4}=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2\text{dx}$ 

$\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=-x.e^x$ 

$\Rightarrow f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)\text{dx=}(1-x).e^x+C$ 

Với f (1) = 0 Þ C = 0 Þ f (x) = (1 – x).e^x 

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{dx}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-x).e^x\text{dx}$ 

$=(2-x).e^x\overline{)\underset{0}{\overset{1}{}}}=e-2$