Xét tất cả các số phức z thỏa mãn |z - 3i + 4| = 1. Giá trị nhỏ nhất của

Đáp án đúng là: A

Ta có: $1=|z-3i+4|\ge |\left|z\right|-|3i-4||=\left|\left|z\right|-5\right|$ 

$\Rightarrow$−1 ≤ |z| − 5 ≤ 1

$\Rightarrow$ 4 ≤ |z| ≤ 6

Đặt $z_0=4-3i\Rightarrow \left|z_0\right|=5,{{\text{ z}}_0}^2=7-24i$ 

$I={\left|z^2+7-24i\right|}^2={\left|z^2+{z_0}^2\right|}^2$ $=(z^2+{z_0}^2)\left({\overline{z}}^2+{\overline{z_0}}^2\right)$

$={\left|z\right|}^4+{\left|z_0\right|}^4+{\left(z.\overline{z_0}+z_0.\overline{z}\right)}^2-2{|z.z_0|}^2$ 

Mà $(z+z_0)(\overline{z}+\overline{z_0})=1$ 

$\Rightarrow z.\overline{z_0}+z_0.\overline{z}=1-{\left|z\right|}^2-{\left|z_0\right|}^2$ 

$\Rightarrow I={\left|z\right|}^4+{\left|z_0\right|}^4+{\left(1-{\left|z\right|}^2-{\left|\overline{z_0}\right|}^2\right)}^2-2{|z.z_0|}^2$  

$=2{\left|z\right|}^4-2{\left|z\right|}^2+1201$ 

Hàm số y = 2t⁴ – 2t² + 1201 đồng biến trên [4; 6] nên I $⩾$ 2.4⁴ – 2.4² + 1201 = 1681

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\left|z\right|=4\\ |z+4-3i|=1\end{array}\right.$ 

Do đó $|z^2+7-24i|\ge 41$