Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [-2019;2019] của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{{x^2} + x - m}}

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} + x - m \ne 0
\end{array} \right..\) 

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{{x^2} + x - m}} = 0 \Rightarrow y = 0\) là TCN của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số chỉ có đúng 2 đường tiệm cận \( \Leftrightarrow \) đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng.

\( \Leftrightarrow pt{\rm{ }}{{\rm{x}}^2} + x - m = 0\) có nghiệm kép \(x \ge 3\) hoặc có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} < 3 \le {x_2}\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = 1 + 4m = 0\\
{3^2} + 3 - m = 0
\end{array} \right.\\
a.f\left( 3 \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m =  - \frac{1}{4}\\
m = 12
\end{array} \right.\\
{3^2} + 3 - m < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 12.\) 

Lại có: \(m \in [ - 2019;2019];m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {13;14;...;2019} \right\}.\) 

Như vậy có: 2008 giá trị m thỏa mãn bài toán.