Cho đa thức \(f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\left( {n \in {N^*}} \right).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(f\left( x \right) = {\left( {1 + 3x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left( {3x} \right)^k} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}\) 

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = n{\left( {1 + 3x} \right)^{n - 1}} = {a_1} + 2{a_2}x + ... + n{a_n}{x^{n - 1}}.\) 

Chọn x = 1 ta có: \(f'\left( 1 \right) = 3n{\left( {1 + 3x} \right)^{n - 1}} = {a_1} + 2a{}_2 + ... + n{a_n} = 49152n\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 3n{.4^{n - 1}} = 49152n \Leftrightarrow {4^{n - 1}} = 16384\\
 \Leftrightarrow {4^n} = 65536 \Leftrightarrow n = 8(tm)
\end{array}\) 

\( \Rightarrow {a_3} = C_8^3{.3^3} = 1512.\)