Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình bên dưới.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}.\) 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng nằm phía bên trái của trục \(Oy \Rightarrow x =  - \frac{d}{c} < 0 \Rightarrow dc > 0.\) 

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nằm phía dưới trục \(Ox \Rightarrow y = \frac{a}{c} < 0 \Leftrightarrow ac < 0 \Rightarrow ad < 0.\) 

Ta thấy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định \( \Rightarrow y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow ad - bc < 0 \Leftrightarrow ad < bc.\) 

Lại có đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ \({y_0} > 0 \Rightarrow \frac{b}{d} > 0 \Leftrightarrow bd > 0.\) 

Xét hàm số: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow y' = 3a{x^2} + 2bx + c.\) 

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3a{x^2} + 2bx + c = 0(*)\) 

Ta có \(ac < 0 \Rightarrow (*)\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái dấu.