Cho mặt cầu tâm O và tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc \(\angle BAC = {30^0}\) và BA = a.

* Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có: SA = SB = SC suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(\Delta ABC \Rightarrow SI \bot (ABC).\) 

\( \Rightarrow O \in SI\) hay S, I, O thẳng hàng.

Ta có: \(\angle \left( {SA;(ABC)} \right) = \angle (SA;AI) = \angle SAI = {60^0}\) 

Kẻ \(OM \bot SA \Rightarrow \Delta SMO \sim \Delta SAI\left( {g - g} \right)\) 

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{SO}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SI}} \Rightarrow SO = \frac{{SM.SA}}{{SI}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SI}} = \frac{{S{A^2}}}{{2\frac{{SA\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{3} = R.\\
 \Rightarrow OI = SI - OI = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} - \frac{{SA\sqrt 3 }}{3} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{6}\\
 \Rightarrow IA = \sqrt {{R^2} - O{I^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{SA\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}}  = \frac{{SA}}{2} = {R_{ABC}}
\end{array}\) 

Với R_ABC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác ABC  ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin {{30}^0}}} = 2{R_{ABC}} = 2a \Leftrightarrow {R_{ABC}} = a.\\
 \Rightarrow IA = a \Rightarrow SA = 2{R_{ABC}} = 2a.\\
 \Rightarrow R = \frac{{SA\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\\
 \Rightarrow {V_{cau}} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \frac{{32\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{27}}.
\end{array}\)