Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong \(y =  - {x^3} + 12x\) và \(y =  - {x^2}\) 

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đề bài cho là:

\( - {x^3} + 12x =  - {x^2} \Leftrightarrow x{}^3 - {x^2} - 12x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 3\\
x = 4
\end{array} \right.\) 

Khi đó ta có diện tích của hình (H) được tính bởi công thức:

\(\begin{array}{l}
{S_H} = \int\limits_{ - 3}^4 {\left| { - {x^3} + 12x + {x^2}} \right|dx}  = \int\limits_{ - 3}^0 {\left( { - {x^2} + {x^3} - 12x} \right)dx}  + \int\limits_0^4 {\left( { - {x^3} + 12x + {x^2}} \right)dx} \\
 = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{12{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}
0\\
 - 3
\end{array} \right. + \left( { - \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{12{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}
4\\
0
\end{array} \right.\\
 = \frac{{99}}{4} + \frac{{160}}{3} = \frac{{937}}{{12}}.
\end{array}\)