Cho hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) trên khoảng \(

* Hướng dẫn giải

Ta có 

\(\begin{array}{l}
F\left( x \right) = \int {\frac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}dx}  = 2\int {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}dx}  - \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \\
 = 2\int {\frac{{d\left( {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)}}{{{{\sin }^2}x}}}  + \cot x + C =  - \frac{2}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} + \cot x + C.
\end{array}\)

\(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi 
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

\(x \in (0;\pi ) \Rightarrow x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{(0;\pi )} F\left( x \right) = \sqrt 3 \) khi \(x = \frac{\pi }{3}.\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow F\left( x \right) =  - \frac{2}{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} + \cot x + 2\sqrt 3 \\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) =  - 4 + 3\sqrt 3 \\
F\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
F\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \\
F\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) =  - 4 + \sqrt 3 
\end{array} \right.
\end{array}\)