Cho hình lập phương ABCD.ABCD.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
AC \bot BD\\
AC \bot DD'
\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (ODD').\) 

Trong \((ODD')\) kẻ \(OH \bot OD'\left( {H \in OD'} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
DH \bot OD'\\
DH \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot (D'AC) \Rightarrow d\left( {D'(D'AC} \right) = DH.\) 

Gọi cạnh của hình lập phương là x ta có \(DD' = x,OD = \frac{{x\sqrt 2 }}{2}.\) 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DD'O ta có:

\(DH = \frac{{DO.DD'}}{{\sqrt {D{O^2} + DD{'^2}} }} = \frac{{\frac{{x\sqrt 2 }}{2}.x}}{{\sqrt {\frac{{{x^2}}}{2} + {x^2}} }} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}.\) 

Trong (BDD'B') gọi \(M = BD \cap OD' \Rightarrow BD \cap \left( {D'AC} \right) = M\) ta có:

\(\frac{{d\left( {D;(D'AC)} \right)}}{{d\left( {B';(D'AC)} \right)}} = \frac{{DM}}{{B'M}} = \frac{{OD}}{{B'D'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {B';(D'AC)} \right) = 2d\left( {D;(D'AC)} \right) = \frac{{2x\sqrt 3 }}{3}.\) 

Theo bài ra ta có: \(\frac{{2x\sqrt 3 }}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{3} = 6{a^2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}{x^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow x = 9{a^2} \Leftrightarrow x = 3a.\) 

Do đó thể tích khối lập phương là \(V = {\left( {3a} \right)^3} = 27{a^3} \Rightarrow k = 27 \in (20;30).\)