Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2{m^2} + 1\) (m là tham số).

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R. Ta có \(y' = {x^2} - 4mx + m - 1.\) 

Lấy y chia cho y' ta được \(y = y'\left( {\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}m} \right) + \left( { - \frac{8}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m - \frac{2}{3}} \right)x + \frac{8}{3}{m^2} - \frac{2}{3}m + 1\) 

 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số là \(y = \left( { - \frac{8}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m - \frac{2}{3}} \right)x + \frac{8}{3}{m^2} - \frac{2}{3}m + 1.\)  

 \(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( { - \frac{8}{3}{m^2} + \frac{2}{3}m - \frac{2}{3}} \right)x - y + \frac{8}{3}{m^3} - \frac{2}{3}m + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( { - 8{m^3} + 2m - 2} \right)x - 3y + 8{m^2} - 2m + 3 = 0(d)\\
 \Rightarrow d\left( {O;d} \right) = \frac{{\left| {8{m^2} - 2m + 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 8{m^2} + 2m - 2} \right)}^2} + 9} }} = \sqrt {\frac{{{{\left( { - 8{m^2} + 2m - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( { - 8{m^2} + 2m - 2} \right)}^2} + 99}}} 
\end{array}\)

Đặt \(t =  - 8{m^2} + 3m - 2 \Rightarrow  - t + 1 = 8{m^2} - 2m + 3\) 

\( \Rightarrow d\left( {O;d} \right) = \sqrt {\frac{{{{\left( { - t + 1} \right)}^2}}}{{{t^2} + 9}}} \) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{{\left( { - t + 1} \right)}^2}}}{{{t^2} + 9}}\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 2( - t + 1)({t^2} + 9) - {{\left( { - t + 1} \right)}^2}.2t}}{{{{\left( {{t^2} + 10} \right)}^2}}} = \frac{{2{t^2} + 16t - 18}}{{{{\left( {{t^2} + 10} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t =  - 9
\end{array} \right..\) 

BBT:

\( \Rightarrow d{\left( {O;d} \right)_{\max }} = \frac{{\sqrt {10} }}{3}.\)