Cho F(x) = (x – 1)e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x)e^2x. Tìm nguyên hàm

Do F(x) = (x – 1)e^x là một nguyên hàm của f(x)e^2x nên:

F '(x) = f(x)e^2x

Û xe^x = f(x)e^2x

Û f(x) = $\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$.

Suy ra : f '(x) = $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}}{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}^2}=\frac{\left(1-\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}$ 

Þ f '(x) = (1 – x)e^x.

Khi đó $\int \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\int (1-\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}$ 

Đặt $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=1-\mathrm{x}\\ \mathrm{dv}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{du}=-\mathrm{dx}\\ \mathrm{v}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\end{array}\right.$

Do đó: $\int \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{dx}$ = (1 – x)e^x + $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}$