Cho f(x) là hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f(1) = 1 và tích phân từ 0 đến 1 f(t)dt = 1/3

Câu hỏi :

Cho f(x) là hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f(1) = 1 và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\frac{1}{3}$, tính $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\sin 2\mathrm{x}.\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{sinx}\right)\mathrm{dx}$.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đặt t = sinx Û dt = cosxdx

Đổi cận :

Khi đó: I = $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\sin 2\mathrm{xdx}.\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{sinx}\right)\mathrm{dx}$

$=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}2\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}.\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{sinx}\right)\mathrm{dx}=2.\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{t}.\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}$

Đặt $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{u}=\mathrm{t}\\ \mathrm{dv}=\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{du}=\mathrm{dt}\\ \mathrm{v}=\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\end{array}\right.$

Do đó: $\mathrm{I}=2-\left[{\left.\left(\mathrm{t}.\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\right)\right|}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\right]=2\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}$