Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và tích phân từ 0 đến pi/2 f(sinx)dx = 5. Tính

Đáp án đúng là: C

Với I₁ = $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\text{inx}\right)\mathrm{dx}$ .

Đặt x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$− t Û dx = −dt

Đổi cận :

Do đó: I₁ = $\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f}\left(\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{t}\right)\right)\mathrm{dt}$  = $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{cost}\right)\mathrm{dt}$ .

Từ đó suy ra được: f(sinx) = f(cosx)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\text{inx}\right)\mathrm{dx}$ = $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\text{inx}\right)\mathrm{dx}+\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\text{inx}\right)\mathrm{dx}$

Đổi biến u = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$  − x

Nên I₂ = $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{u}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{cosu}\right)\mathrm{du}$  = $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\text{inx}\right)\mathrm{dx}$ .

Do đó: 2I₂ = $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\frac{\mathrm{\pi }}{2}.\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\text{inx}\right)\mathrm{dx}$ Þ I₂ = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}.\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\text{inx}\right)\mathrm{dx}$ .

Với $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{s}\text{inx}\right)\mathrm{dx}=5$