Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y = g(x) = x.f(x^2) có đồ thị hàm số trên đoạn [0; 2] như hình vẽ

Câu hỏi :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và hàm số y = g(x) = x.f(x²) có đồ thị hàm số trên đoạn [0; 2] như hình vẽ

Biết diện tích miền tô màu là S = $\frac{5}{2}$ , tính tích phân I = $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Ta có:

S = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{5}{2}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{xf}\left({\mathrm{x}}^2\right)\mathrm{dx}$

Đặt t = x²  Û dt = 2xdx

Đổi cận :

Do đó: S = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{xf}\left({\mathrm{x}}^2\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\frac{5}{2}\iff \underset{1}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=5$

Hay $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=5$