Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 2; 3) và vuông góc với hai mặt phẳng (P):

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm và $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\left(\mathrm{\alpha }\right)}}$  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)

Mặt phẳng (P) : 3x – 2y + z + 4 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\left(\mathrm{P}\right)}}$ (3; −2; 1)

Mặt phẳng (Q): 5x – 4y+ 3z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\left(\mathrm{Q}\right)}}$ (5; −4; 3)

Ta có : $\left\{\begin{array}{c}\left(\mathrm{\alpha }\right)\perp \left(\mathrm{P}\right)\\ \left(\mathrm{\alpha }\right)\perp \left(\mathrm{Q}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\left(\mathrm{\alpha }\right)}}=\left[\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{P}}};\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{Q}}}\right]$ = (−2; −4; −2)

Mặt phẳng (α) qua A(1; 2; 3) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\left(\mathrm{\alpha }\right)}}$ (−2; −4; −2) nên có phương trình là:

−2(x – 1) – 4(y − 2) – 2(z – 3) = 0 Û −2x – 4y – 2z + 16 = 0.

Nên (α): x + 2y + z – 8 = 0. Vậy (α) có phương trình là x + 2y + z – 8 = 0.