Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, \(\angle BSA = 60^\circ \). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD?

* Hướng dẫn giải

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\} \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: S.ABCD là hình chóp tứ giác đều \( \Rightarrow SA = SB \Rightarrow \Delta SAB\) cân tại S.

Lại có \(\angle ASB = 60^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta SAB\) là tam giác đều \( \Rightarrow SA = SB = AB = a\).

Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2 \) (định lý Pitago) \( \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).