Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tam giác SAB cân tại S có SA = SB = 2a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Gọi \(\alpha \) là góc giữa SD và mặt phẳng...

* Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right),SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SD,HD} \right) = \angle SDH = \alpha \).

Áp dụng định lý Pytago với các tam giác vuông SAH, ADH ta có:

\(\begin{array}{l}
SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\\
DH = \sqrt {A{H^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\\
 \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{SH}}{{DH}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}:\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 3 
\end{array}\).