Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC.

* Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm của AC ta có: PM // CD và PN // AB

\( \Rightarrow \angle (AB;CD) = \angle (PM;PN)\)

Do PM, PN lần lượt là đường trung bình của tam giác ACD và tam giác ABC

\( \Rightarrow PM = \frac{{CD}}{2} = \frac{a}{2};PN = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\)

Xét tam giác PMN có \(cos\angle MPN = \frac{{P{M^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2.PM.PN}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{3{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{a}{2}.\frac{a}{2}}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \angle MPN = {120^ \circ }\)

Vậy \(\angle \left( {PM;PN} \right) = {180^ \circ } - {120^ \circ } = {60^ \circ }\)