Số nghiệm của bất phương trình \(2{\log _{\frac{1}{2}}}\left| {x - 1} \right|...

* Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 1\).

\(\begin{array}{l}
\;2{\log _{\frac{1}{2}}}\left| {x - 1} \right| < {\log _{\frac{1}{2}}}x - 1 \Leftrightarrow  - 2{\log _2}\left| {x - 1} \right| <  - {\log _2}x - 1\\
 \Leftrightarrow 2{\log _2}\left| {x - 1} \right| > {\log _2}x + 1 \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} > {\log _2}x + {\log _2}2\\
 \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} > {\log _2}\left( {2x} \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} > 2x
\end{array}\) 

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - 2x > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 2 + \sqrt 3 \\
x < 2 - \sqrt 3 
\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện suy ra Bất phương trình vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}
x \in Z\\
x \in \left( {0;2 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {2 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)
\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left\{ {4;5;...} \right\}\) 

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn bài toán.