Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình \({4^x} - m{.2^x} + 2m + 1 = 0\) có nghiệm.

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {2^x} > 0\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - mt + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 1 = m\left( {t - 2} \right)\) 

Nhận thấy t = 2 không là nghiệm của phương trình \( \Rightarrow t \ne 2\).

Chia cả 2 vế của phương trình cho t - 2, ta được \(m = \frac{{{t^2} + 1}}{{t - 2}} = f\left( t \right){\rm{ }}\left( {t > 0} \right)\)  (*)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(t)\) và đường thẳng y = m song song với trục hoành.

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{2t\left( {t - 2} \right) - {t^2} - 1}}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{t^2} - 4t - 1}}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 2\sqrt 5  \in \left( {0; + \infty } \right)\\
t = 2 - \sqrt 5  \notin \left( {0; + \infty } \right)
\end{array} \right.\) 

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m <  - \frac{1}{2}\\
m \ge 4 + 2\sqrt 5 
\end{array} \right. \Rightarrow S = \left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \cup \left[ {4 + 2\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow R\backslash S = \left[ { - \frac{1}{2};4 + 2\sqrt 5 } \right) \Rightarrow R\backslash S\) có 9 giá trị nguyên là \(\left\{ {0;1;2;...;8} \right\}\).