Xét số phức z thỏa mãn \(\frac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là số thuần ảo.

* Hướng dẫn giải

Gọi z = a + bi ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{z + 2}}{{z - 2i}} = \frac{{(a + 2) + bi}}{{a + (b - 2i)i}} = \frac{{\left[ {(a + 2) + bi} \right]\left[ {a - (b - 2)i} \right]}}{{\left[ {a + (b - 2)i} \right]\left[ {a - (b - 2)i} \right]}}\\
 = \frac{{(a + 2)a - (a + 2)(b - 2)i + abi + b(b - 2)}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{{a^2} + 2a + {b^2} - 2b}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {a + 2} \right)\left( {b - 2} \right) - ab}}{{{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}}i
\end{array}\)

Để số trên là số thuần ảo => có phần thực bằng 0 \( \Rightarrow {a^2} + 2a + {b^2} - 2b = 0\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1; 1), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} - 0}  = \sqrt 2 \)