Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với .

* Hướng dẫn giải

Goi D là trung điểm của \(AC \Rightarrow CD \bot AB\)

Kẻ \(HM//CD\left( {M \in AB} \right) \Rightarrow HM \bot AB\).

Ta có \()\left\{ \begin{array}{l}
HM \bot AB\\
SH \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHM} \right)\) .

Trong (SHM) kẻ \(HK \bot SM\left( {K \in SM} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
HK \bot SM\\
HK \bot AB\left( {AB \bot \left( {SHM} \right)} \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = HK\).

Ta có: \(CH \cap \left( {SAB} \right) = A \Rightarrow \frac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{CA}}{{HA}} = \frac{3}{2} \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{3}{2}HK\).

Tam giác ABC đều cạnh \(3a \Rightarrow CD = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{HM}}{{CD}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HM = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM ta có: \(HK = \frac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \frac{{2a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt {21} }}{7}\)

Vậy \(d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{3}{2}.\frac{{2a\sqrt {21} }}{7} = \frac{{3a\sqrt {21} }}{7}\).