Cho hàm số \(f(x)>0\) với \(x \in R,f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} .

* Hướng dẫn giải

Ta có \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f'\left( x \right)\). Do \(f(x)>0\) nên chia cả 2 vế cho \(f(x)\) ta được \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\).

Lấy nguyên hàm 2 vế \( \Rightarrow \int {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx = \int {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = 2\sqrt {x + 1}  + C \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1}  + C}}} } \)

 \(\begin{array}{l}
f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow {e^{2 + C}} = 1 = {e^0} \Leftrightarrow C =  - 2 \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1}  - 2}}\\
 \Rightarrow f\left( 3 \right) = {e^{2\sqrt {3 + 1}  - 2}} = {e^2} \approx 7,4
\end{array}\)