Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 5\) đồ

* Hướng dẫn giải

TXĐ: D = R.

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - {m^2} + 3m - 2\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {0;2} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - {m^2} + 3m - 2 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {0;2} \right)\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \le 3{x^2} + 6x = g\left( x \right)\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow {m^2} - 3m + 2 \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)
\end{array}\) 

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^2} + 6x\) trên [0;2] ta có:

\(g'\left( x \right) = 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow g'\left( x \right) > 0{\rm{ }}\forall x >  - 1 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên [0;2].

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow {m^2} - 3m + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 2\).