Số giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}&nbs

* Hướng dẫn giải

\(\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}  - \sqrt {18 + 3x - {x^2}}  \le {m^2} - m + 1\).

ĐKXĐ: \( - 3 \le x \le 6\).

Đặt \(t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} \)

Ta có: \(t'\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {3 + x} }} - \frac{1}{{2\sqrt {6 - x} }} = \frac{{\sqrt {6 - x}  - \sqrt {3 + x} }}{{2\sqrt {3 + x} \sqrt {6 - x} }} = 0 \Leftrightarrow 6 - x = 3 + x \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

BBT:

\( \Rightarrow t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]\).

Ta có \({t^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {18 + 3x - {x^2}}  = 9 + 2\sqrt {18 + 3x - {x^2}} \) 

\( \Rightarrow \sqrt {18 + 3x - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 9}}{2}\) .

Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = t - \frac{{{t^2} - 9}}{2} \le {m^2} - m + 1{\rm{ }}\forall t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right]\) (*)

Phương trình (*) có nghiệm đúng \(\forall t \in \left[ {3;3\sqrt 2 } \right] \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;3\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t - \frac{{{t^2} - 9}}{2}\) ta có: \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{1}{2}.2t = 1 - t = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

BBT:

\( \Rightarrow {m^2} - m + 1 \ge 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge 2\\
m \le  - 1
\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \in \\
m \in \left[ { - 10; - 1} \right] \cup \left[ {2;10} \right]
\end{array} \right. \Rightarrow \) Có 19 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.