Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - (m + 1){x^2} + ({m^2} - 2)x - {m^2} + 3\)  có

* Hướng dẫn giải

\(y = {x^3} - (m + 1){x^2} + \left( {{m^2} - 2} \right)x - {m^2} + 3\)

TXĐ: D = R

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} - 2\)

Để hàm số có 2 điểm cực trị  <=> phương trình y' = 0  có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {{m^2} - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow  - 2{m^2} + 2m + 7 > 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt {15} }}{2} < m < \frac{{1 + \sqrt {15} }}{2}\)

Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\)

Thử lại:

+) Với m = -1 ta có: \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\). Khi đó: \(y' = 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = 1\\
x = \frac{{ - 1}}{3} \Rightarrow y = \frac{{59}}{{27}}
\end{array} \right.(ktm)\)

+) Với m = 0 ta có \(y = {x^3} - {x^2} - 2x + 3\).Khi đó:

\(y' = 3{x^2} - 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \frac{{61 - 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0\\
x = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \frac{{61 + 14\sqrt 7 }}{{27}} > 0
\end{array} \right.(ktm)\)

+) Với m = 1  ta có \(y = {x^3} - {x^2} - x + 2\). Khi đó

\(y' = 3{x^3} - 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{2 + \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \frac{{20 - 14\sqrt 7 }}{{27}} < 0\\
x = \frac{{2 - \sqrt 7 }}{3} \Rightarrow y = \frac{{20 + 14\sqrt 7 }}{{27}} < 0
\end{array} \right.(tm)\)

+) Với m = 2 ta có \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\). Khi đó

\(y' = 3{x^3} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y =  - \frac{{9 + 2\sqrt 3 }}{{27}} < 0\\
x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \frac{{ - 9 + 2\sqrt 3 }}{9} < 0
\end{array} \right.(ktm)\)

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn là m = 1