Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 2a. Hai đường tròn đáy của (T) có tâm lần lượt là O và O1 và bán kính bằng a.

* Hướng dẫn giải

Trên (O) lấy điểm , trên (O₁) lấy điểm A’ sao cho AA’ // BB’ // OO₁. Khi đó ta được hình lăng trụ OAB’.O₁A’B.

Ta có \({\rm{AA}}' = h = 2a,AB = a\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông AA’B  có 

\(A'B = \sqrt {A{B^2}{\rm{ - AA}}{{\rm{'}}^2}}  = \sqrt {5{a^2} - 4{a^2}}  = a\)

Do đó tam giác O₁A’B có \({O_1}A' = {O_1}B = A'B = a \Rightarrow \Delta {O_1}A'B\) đều cạnh a

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {S_{\Delta {O_1}A'B}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\
 \Rightarrow {V_{OAB'.{O_1}A'B}}{\rm{ = AA}}'.{S_{{O_1}A'B}} = 2a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}
\end{array}\)

Ta có \({V_{OAB'.{O_1}A'B}}{\rm{ = }}{V_{A.{O_1}A'B}} = {V_{OAB'.{O_1}A'B}} + {V_{B.OAB'}} + {V_{O{O_1}AB}}\)

Mà \({V_{A.{O_1}A'B}} = \frac{1}{3}{V_{OAB'.{O_1}A'B}};{V_{B.OAB'}} = \frac{1}{3}{V_{OAB'.{O_1}AB}} \Rightarrow {V_{O{O_1}AB}} = \frac{1}{3}{V_{OAB'.{O_1}A'B}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)