Cho hàm số f(x) > 0 với mọi \(x \in R,f(0) = 1\) và \(f(x) = \sqrt {x + 1} f(x)\) với mọi \(x \in R\).

* Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có: \(f(x) = \sqrt {x + 1} f'(x)\)  (*)

Do \(f(x) > 0\forall x \in R\) nên từ (*) ta có \(\frac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: \(\int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}dx = \int {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx} } \)

\( \Leftrightarrow \ln \left| {f(x)} \right|dx = 2\sqrt {x + 1}  + C \Leftrightarrow \ln f(x) = 2\sqrt {x + 1}  + C \Leftrightarrow f(x) = {e^{2\sqrt {x + 1}  + C}}\)

Ta có \(f(0) = 1 \Rightarrow 1 = {e^{2 + C}} \Leftrightarrow 2 + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 2\)

Do đó \(f(x) = {e^{2\sqrt {x + 1}  - 2}} \Rightarrow f(3) = {e^2} \approx 7,4 > 6\)