Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là \(\frac{\pi }{3}\). Một khối cầu (S1) nội tiếp trong khối nón.

* Hướng dẫn giải

Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh l.

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cũng chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chóp là \({r_1} = \frac{1}{3}\frac{{l\sqrt 3 }}{2} = \frac{{l\sqrt 3 }}{6}\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{AH'}}{{AH}} = \frac{{AH - HH'}}{{AH}} = \frac{{\frac{{l\sqrt 3 }}{2} - \frac{{l\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{{l\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AA' = \frac{l}{3}\) 

Tương tự ta tìm được \({r_2} = \frac{l}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{6} = \frac{{l\sqrt 3 }}{{18}} = \frac{{{r_1}}}{3}\). Tiếp tục như vậy ta có \({r_3} = \frac{{{r_1}}}{{{3^2}}},{r_4} = \frac{{{r_1}}}{{{3^3}}},...{r_n} = \frac{{{r_1}}}{{{3^{n - 1}}}}\).

Ta có: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi r_1^3,{V_2} = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{{r_1}}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{{3^3}}}{V_1},{V_3} = \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^2}}}{V_1},...;{V_n} = \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{n - 1}}}}{V_1}\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{V_1} + {V_2} + ... + {V_n}}}{V} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{V_1}\left( {1 + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{n - 1}}}}} \right)}}{V} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{V_1}.S}}{V}\)

Đặt \(S = 1 + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{n - 1}}}}\).

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{{{3^3}}} < 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } S = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{{3^3}}}}} = \frac{{27}}{{26}}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {V_1} + {V_2} + ... + {V_n} = \frac{{27}}{{26}}{V_1} = \frac{{27}}{{26}}.\frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{l\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{52}}\pi {l^3}\\
V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{l}{2}} \right)^2}.\frac{{l\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 \pi {l^3}}}{{24}}\\
 \Rightarrow T = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{{52}}\pi {l^3}}}{{\frac{{\sqrt 3 \pi {l^3}}}{{24}}}} = \frac{6}{{13}}
\end{array}\)