Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1; - 3),B(0; - 2;3) và mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \righ

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(-1;0; 3) , bán kính R = 1

Gọi J(a; b; c)  là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {JA}  + 2.\overrightarrow {JB}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\overrightarrow {JA}  = (3 - a,1 - b, - 3 - c);\overrightarrow {JB}  = ( - a;2 - b;3 - c)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {JA}  + 2.\overrightarrow {JB}  = (3 - 3a; - 3 - 3b;3 - 3c) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b =  - 1 \Rightarrow J(1; - 1;1)\\
c = 1
\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}
T = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JB} } \right)^2}\\
T = M{J^2} + 2.\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JA}  + J{A^2} + 2M{J^2} + 4\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JB}  + 2J{B^2}\\
T = 3M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} \underbrace {(\overrightarrow {JA}  + 2\overrightarrow {JB} )}_{\overrightarrow 0 } + \underbrace {J{A^2} + 2J{B^2}}_{{\rm{const}}}
\end{array}\)

Do đó: \({T_{max}} \Leftrightarrow M{J_{max}}\)

Ta có: \(\overrightarrow {IJ}  = (2; - 1; - 2) \Rightarrow IJ = \sqrt {{2^2} + 1{}^2 + {2^2}}  = 3 > R = 1 \Rightarrow J\) nằm ở phía ngoài mặt cầu (S). Khi đó \(M{J_{max}} = IJ + R = 3 + 1 = 4\)

Vậy \({T_{max}} = {3.4^2} + ({2^2} + {2^2} + {4^2}) + 2.({1^2} + {1^2} + {2^2}) = 3.16 + 24 + 2.6 = 84\)