Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{xdx}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}}  = a + b\ln 2 + c\ln 3\) với a, b, c là các số hữu tỉ.

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = 2x + 1 \Rightarrow x = \frac{{t - 1}}{2},dx = \frac{1}{2}dt\).

\(I = \int\limits_1^3 {\frac{{t - 1}}{{4{t^2}}}}  = \left. {\left( {\frac{1}{4}\ln t + \frac{1}{{4t}}} \right)} \right|_1^3 = \frac{1}{4}\ln 3 - \frac{1}{6}\). Vậy \(a + b + c = \frac{1}{{12}}\).