Giả sử \(m =  - \frac{a}{b},a,b \in {Z^ + },\left( {a,b} \right) = 1\)  là giá trị thực của tham số m để đường thẳng

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:

   \(\begin{array}{l}
\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} =  - 3x + m,\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow 2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( { - 3x + m} \right)\\
 \Leftrightarrow 2x + 1 =  - 3{x^2} + \left( {m + 3} \right)x - m \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( * \right)
\end{array}\)

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\Delta  > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\
{{{3.1}^2} - \left( {m + 1} \right).1 + m + 1 \ne 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0}\\
{3 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 11} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m <  - 1}\\
{m > 11}
\end{array}} \right.\)

Giả sử x₁; x₂ là nghiệm của (*)  \( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{m + 1}}{3}\)

Tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) do \(A,B \in d \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} =  - 3{x_1} + m}\\
{{y_2} =  - 3{x_2} + m}
\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {y_1} + {y_2} =  - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m =  - 3.\frac{{m + 1}}{3} + 2m = m - 1\)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB: \(G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 0}}{3};\frac{{{y_1} + {y_2} + 0}}{3}} \right)\)  hay \(G\left( {\frac{{m + 1}}{9};\frac{{m - 1}}{3}} \right)\)

Do  \(G \in \Delta :x - 2y - 2 = 0 \Rightarrow \frac{{m + 1}}{9} - 2.\frac{{m - 1}}{3} - 2 = 0 \Leftrightarrow m + 1 - 6m + 6 - 18 = 0 \Leftrightarrow  - \frac{{11}}{5}\)

\( \Rightarrow a = 11;b = 5 \Rightarrow a + 2b = 21.\)