Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + {m^2} + 2m}}{{x - 2}}\) trên

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}\) . Ta có: \(y' = \frac{{ - 2.1 - 1.({m^2} + 2m)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{ - {m^2} - 2m - 2}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{ - {{(m + 1)}^2} - 1}}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\forall x \in D\)

\( \Rightarrow y' < 0\forall x \in \left[ {3;4} \right] \Rightarrow \) Hàm số đã cho nghịch biến trên [3;4]

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = y(4) = \frac{{{m^2} + 2m + 4}}{2};\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {3;4} \right]} y = y(3) = {m^2} + 2m + 3\\
 \Rightarrow A = \frac{{{m^2} + 2m + 4}}{2};B = {m^2} + 2m + 3
\end{array}\)

Theo bài ra ta có \(A + B = \frac{{19}}{2} \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2m + 4}}{2} + {m^2} + 2m + 3 = \frac{{19}}{2}\)

 \( \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2m + 4 + 2{m^2} + 4m + 6}}{2} = \frac{{19}}{2} \Leftrightarrow 3{m^2} + 6m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m =  - 3
\end{array} \right.\)