Cho hình chóp S.ABC có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a và ASB = BSC = 600, ASC = 900. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

* Hướng dẫn giải

Trên các cạnh SB, SC lần lượt lấy B’, C’ sao cho SA = SB’ = SC’= 2a

Khi đó, ta có: \(\frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.AB'C'}}}} = \frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{3}{2}.\frac{4}{2} = 3 =  > {V_{S.ABC}} = 3.{V_{S.AB'C'}}\)

* Tính \({V_{S.AB'C'}}\) (hình chóp \({V_{S.AB'C'}}\) có: \(SA = SB' = SC' = 2a,\angle ASB' = \angle B'SC' = {60^0},\angle ASC = {90^0}\) ):

\(\Delta ASB'\) và \(\Delta SB'C'\) đều, có cạnh bằng \(2a \Rightarrow AB' = B'C' = 2a\)

\(\Delta SA'C'\) vuông cân tại S =>\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{A'C' = 2a\sqrt 2 }\\
{{S_{AB'C'}} = \frac{1}{2}.{{\left( {2a} \right)}^2} = 2{a^2}}
\end{array}} \right.\)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{AB' = B'C' = 2a}\\
{AC' = 2a\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,}
\end{array} \Rightarrow \Delta AB'C'} \right.\) vuông cân tại B’

Gọi I là trung điểm của A’C’ => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’

Mà, chóp \({V_{S.AB'C'}}\), có \(SA = SB' = SC' = 2a \Rightarrow SI \bot \left( {AB'C'} \right)\)

\( \Rightarrow {V_{S.AB'C'}} = \frac{1}{3}{V_{AB'C'}}.SI = \frac{1}{3}.2{a^2}.\frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 3.{V_{S.AB'C'}} = 2\sqrt 2 {a^3}\)