Cho tứ diện ABCD có \((ACD) \bot (BCD),AC = AD = BC = BD = a,CD = 2x\).

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot CD\\
AB \bot CE
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (CDE) \Rightarrow AB \bot DE\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
(ABC) \cap (ABD) = AB\\
(ABC) \supset CE \bot AB\\
(ABD) \supset DE \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right)} \right) = \angle \left( {CE;DE} \right) = \angle CED = 90^0\)

Ta có \(\Delta ABC = \Delta ADC(c.c.c) \Rightarrow CE = DE \Rightarrow \Delta CDE\) vuông cân tại E

\( \Rightarrow CD = CE\sqrt 2  \Leftrightarrow 2x = CE\sqrt 2  \Leftrightarrow CE = x\sqrt 2 \) (*)

Xét tam giác vuông CBH có \(B{H^2} = B{C^2} - C{H^2} = {a^2} - {x^2}\)

Xét tam giác vuông ACH có \(A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {a^2} - {x^2}\)

Xét tam giác vuông ABH có \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = 2{a^2} - 2{x^2} \Rightarrow AE = \frac{{\sqrt {2{a^2} - 2{x^2}} }}{2}\)

Xét tam giác vuông ACE có \(C{E^2} = A{C^2} - A{E^2} = {a^2} - \frac{{{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{{a^2} + {x^2}}}{2} \Rightarrow CE = \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}\)

Thay vào (*) ta có \(\frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{{\sqrt 2 }} = x\sqrt 2  \Leftrightarrow {a^2} + {x^2} = 4{x^2} \Leftrightarrow 3{x^2} = {a^2} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)