Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) có đồ thị (C).

* Hướng dẫn giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M(x₀; y₀) là:  \(y = f'\left( {{x_0}} \right).{\rm{ }}\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Do \(\Delta OAB\)  cân tại O. Mà \(\angle AOB = {90^0} \Rightarrow \Delta OAB\)  vuông cân tại O

 => Đường thẳng d tạo với trục Ox góc 45⁰ hoặc góc 135⁰

=> Đường thẳng d có hệ số góc băng 1 hoặc -1  \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 1\,\,\,}\\
{a =  - 1}
\end{array}} \right.\)

Ta có: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne  - \frac{3}{2} \Rightarrow \) Hệ số góc của đường thẳng d chỉ có thể là \( - 1 \Rightarrow a =  - 1\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)  là tiếp điểm \( =  > \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} =  - 1 \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} + 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_0} =  - 1}\\
{{x_0} =  - 2}
\end{array}} \right.\)

+)  \({x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow \left( d \right):y =  - 1\left( {x + 1} \right) + 1 \Rightarrow y =  - x\) : Loại, do y = -x  cắt 2 trục tọa độ tại điểm duy nhất là O (0;0)

+)  \({x_0} =  - 2 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow \left( d \right):y =  - 1\left( {x + 2} \right) + 0 \Leftrightarrow y =  - x - 2 \Rightarrow b =  - 2 \Rightarrow a + b =  - 1 - 2 =  - 3\)