Cho hàm số y = f(x)  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x - 1} \right) + m \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {6{x^2} + 1} \right).f'\left( {2{x^3} + x - 1} \right)\)

Với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì \((2{x^3} + x - 1) \in [ - 1;2]\)

Quan sát đồ thị hàm số y = f(x) ta thấy hàm số y = f(x)  nghịch biến trên đoạn [-1;l]

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0,x \in \left[ { - 1;1} \right]\\
 \Rightarrow f'\left( {2{x^3} + x - 1} \right) \le 0,\forall x \in {\rm{[}}0;1] \Rightarrow g'\left( x \right) \le 0,\forall x \in {\rm{[}} - 1;2]\,\,(do\,\,\,6{x^2} + 1 > 0,\forall x)
\end{array}\)

=> g (x) nghịch biến trên [0;1]  \( \Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = f\left( { - 1} \right) + m = 3 + m\)

Theo đề bài, ta có: \(3 + m =  - 10 \Leftrightarrow m =  - 13\)