Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2018;2019] để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m + 1} \right){x^2}

* Hướng dẫn giải

+) Với \(m = 0 \Rightarrow y = {x^2} + 1\) : là hàm số bậc hai với hệ số \(a = 1 > 0 \Rightarrow \)  Hàm số có 1 điểm cực tiểu, không có cực đại

=>  m = 0 không thỏa mãn.

+) Với \(m \ne 0\) : Hàm số là hàm bậc 4 trùng phương.

Khi đó hàm số có đúng một điểm cực đại  \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0}\\
{b \le 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0}\\
{b < 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m < 0\,\,\,\,\,\,}\\
{m + 1 \le 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m > 0\,\,\,\,\,}\\
{m + 1 < 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m < 0}\\
{m \le  - 1}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m > 0}\\
{m <  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le  - 1\)

Mà \(m \in Z,m \in \left[ { - 2018;2019} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2018; - 2017;...; - 1} \right\}\) : có 2018 giá trị của m thỏa mãn.