Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác với \(AB = 2cm,AC = 3cm,\angle BAC = {60^0}\), \(,SA \bot \left( {ABC} \right)\) .

* Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường kính AD.

Ta chứng minh O là tâm mặt câu đi qua 6 điểm \(A,B,C,{B_1},{C_1}\) và D

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{CD \bot AC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\
{CD \bot SA(do\,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right))}
\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot A{C_1}} \right.\)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{A{C_1} \bot SC}\\
{A{C_1} \bot CD}
\end{array} \Rightarrow A{C_1} \bot } \right.\left( {SCD} \right) \Rightarrow A{C_1} \bot {C_1}D\)

\( \Rightarrow {C_1}\) thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

Tương tự, B₁ thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

Hiển nhiên, A, B, D, C thuộc mặt cầu tâm O đường kính AD

=> O là tâm mặt cầu đi qua 6 điểm \(A,B,C,{B_1},{C_1},D\)

 => O là tâm mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,B,C,{B_1},{C_1}\)

Tính bán kính R của mặt cầu đi qua 5 điểm \(A,B,C,{B_1},{C_1}\) .

Xét tam giác ABC:   \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cos\angle A}  = \sqrt {4 + 9 - 2.2.3cos{{60}^0}}  = \sqrt 7 \left( {cm} \right)\)

\(\begin{array}{l}
{S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \angle A =  > \frac{{2.3\sqrt 7 }}{{4R}} = \frac{1}{2}.2.3.\sin {60^0}\\
 \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt 7 }}{{2R}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow R = \frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }}\left( {cm} \right)
\end{array}\)

Thể tích khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\sqrt {\frac{7}{3}} } \right)^3} = \frac{{28\sqrt 7 \pi }}{{9\sqrt 3 }} = \frac{{28\sqrt {21} \pi }}{{27}}\left( {c{m^3}} \right)\)