Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số: \(y = {x^8} + (m + 1){x^5} - ({m^2} - 1){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại x =

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = 8{x^7} + 5\left( {m + 1} \right){x^4} - 4({m^2} - 1){x^3};y'' = 56{x^6} + 20(m + 1){x^3} - 12({m^2} - 1){x^2}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 8{x^7} + 5(m + 1){x^4} - 4({m^2} - 1){x^3} = 0\\
 \Leftrightarrow {x^3}\left[ {8{x^4} + 5(m + 1)x - 4({m^2} - 1)} \right] = 0
\end{array}\)

TH1: Xét \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

+) Khi m = 1 ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3}(8{x^4} + 10x) = {x^4}(8{x^3} + 10) \Rightarrow x = 0\) là nghiệm bội \(4 \Rightarrow x = 0\) không là cực trị của hàm số.

+) Khi m = - 1ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^3}.8{x^4} = 0 \Leftrightarrow 8{x^7} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) là nghiệm bội lẻ \( \Leftrightarrow x = 0\) là điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa qua điểm x = 0 thì y' đổi dấu từ âm sang dương nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

TH2: Xét \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\) ta có:

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left[ {8{x^5} + 5(m + 1){x^2} - 4({m^2} - 1)x} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 0\\
8{x^5} + 5(m + 1){x^2} - 4({m^2} - 1)x = 0
\end{array} \right.\)

\({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) là nghiệm bội chẵn không là cực trị của hàm số, do đó cực trị của hàm số ban đầu là nghiệm của phương trình \(g(x) = 8{x^5} + 5(m + 1){x^2} - 4({m^2} - 1)x = 0\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow g'(0) > 0\)

Ta có \(g'(x) = 40{x^4} + 10(m + 1)x - 4({m^2} - 1)\)

\( \Rightarrow g'(0) =  - 4({m^2} - 1) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1\)

Vậy kết hợp 2 trường hợp ta có \( - 1 \le m < 1\)

Do \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\)