Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right) = 49 - 45 = 4 \Rightarrow 7 + 3\sqrt 5  = \frac{4}{{7 - 3\sqrt 5 }}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = {2^{{x^2} - 1}}\\
 \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = \frac{1}{2}{.2^{{x^2}}}\\
 \Leftrightarrow {2.2^{{x^2}}} - {2^{{x^2}}}.{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^2} + 2m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} = 0\\
 \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{2{x^2}}} - {\left( {\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{{x^2}}} + 2m = 0(*)
\end{array}\)

Đặt \({\left( {\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}} \right)^{2{x^2}}} = t \Rightarrow {x^2} = {\log _{\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}t.\)

Ta có: \(0 < \frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }}}}t > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 1\)

\( \Rightarrow (*) \Leftrightarrow 2{t^2} - t + 2m = 0(1)\)

Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (1) có hai nghiệm phân biệt \(t \in (0;1)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
af(0) > 0\\
af(1) > 0\\
0 <  - \frac{b}{{2a}} < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - 16m > 0\\
4m > 0\\
2(2m + 1) > 0\\
0 < \frac{1}{2} < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{{16}}\\
m > 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{{16}}\\
m >  - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)