Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = 6\sqrt {{x^2} - 6x + 12}  + 6x - {x^2} - 4\).

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
f(x) = 6\sqrt {{x^2} - 6x + 12}  + 6x - {x^2} - 4\\
f(x) = 6\sqrt {{x^2} - 6x + 12}  - ({x^2} - 6x + 12) + 8
\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 6x + 12}  = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 3}  \ge 3\), khi đó ta có \(f(t) =  - {t^2} + 6t + 8\forall x \ge 3\)

Ta có \(f'(t) =  - 2t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

BBT:

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left[ {\left. {3; + \infty } \right)} \right.} f(t) = 17 \Leftrightarrow t = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 3}  = 3 \Leftrightarrow x = 3\\
 \Rightarrow maxf(x) = 17 = M \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\)

Vậy phương trình \(f(x)=M\) có nghiệm duy nhất x = 3, do đó tích các nghiệm của chúng bằng 3.