Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(y = {x^2} - 3x + {m^2} + 5m + 6\).

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên \((a;b) \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in (a;b)\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + {m^2} + 5m + 6 \ge 0,\forall x \in (3;5)\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 3x \ge  - {m^2} - 5m - 6,\forall x \in (3;5)(*)
\end{array}\)

Đặt \(g(x) = {x^2} - 3x\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow g(x) \ge  - {m^2} - 5m - 6\forall x \in (3;5)\\
 \Rightarrow  - {m^2} - 5m - 6 \le \mathop {\min }\limits_{(3;5)} g(x)
\end{array}\)

Khảo sát hàm số \(g(x)=x^2-3x\) ta được:

\( \Rightarrow  - {m^2} - 5m - 6 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 5m + 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge  - 2\\
m \le  - 3
\end{array} \right.\)