Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \({\left[ {f(x)} \right]^2} + f(x).f(x) = {x^3} - 2x, \forall x \in R\) và \(f(0) = f(0) = 2\).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(VT = \left[ {f(x).f'(x)} \right]' = f'(x).f'(x) + f(x).f''(x) = {\left[ {f'(x)} \right]^2} + f(x).f''(x)\)

\( \Rightarrow \left[ {f'(x).f(x)} \right]' = {x^3} - 2x(*)\)

Nguyên hàm hai vế của (*) ta được: \(f'(x).f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + C(1)\)

Lại có: \(f'(0) = f(0) = 2 \Rightarrow C = 2.2 = 4\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow f(x).f'(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4\\
 \Rightarrow \int {f(x)f'(x)dx = \int {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - {x^2} + 4} \right)} } dx \Leftrightarrow \int {f(x)df(x) = \frac{{{x^5}}}{{20}} - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A} \\
 \Leftrightarrow \frac{{{f^2}(x)}}{2} = \frac{{{x^5}}}{{20}} - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x + A \Leftrightarrow {f^2}(x) = \frac{{{x^5}}}{{10}} - \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 2A
\end{array}\)

Có \(f(0) = 2 \Rightarrow 4 = 2A \Leftrightarrow A = 2\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {f^2}(x) = \frac{{{x^5}}}{{10}} - \frac{{2{x^3}}}{3} + 8x + 4\\
 \Rightarrow {f^2}(2) = \frac{{{2^5}}}{{10}} - \frac{{{{2.2}^3}}}{3} + 8.2 + 4 = \frac{{268}}{{15}}
\end{array}\)