Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \((P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 = 0;(R):x - 2y + z - 4 = 0\).

* Hướng dẫn giải

Dễ dàng nhận thấy \((P)//(Q)//(R)\)

Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với cả 3 mặt phẳng (P), (Q), (R), cắt (P) tại H và cắt (Q) tại K.

Ta có \(BH = d\left( {\left( Q \right);\left( P \right)} \right) = 9;HK = d\left( {\left( P \right);\left( R \right)} \right) = 3\)

Khi đó ta có: \(T = A{B^2} + \frac{{144}}{{A{C^2}}} \ge 2\sqrt {A{B^2}.\frac{{144}}{{A{C^2}}}}  = 24\frac{{AB}}{{AC}} = 24.\frac{{BH}}{{HK}} = 24.\frac{9}{3} = 72\)

Vậy \({T_{\min }} = 72\)