Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  để phương trình \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left(

* Hướng dẫn giải

 Điều kiện:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 1\,\,\,}\\
{mx > 8}
\end{array}} \right.\)

Ta có:  \({\log _{\sqrt 2 }}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {mx - 8} \right)\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} = {\log _2}\left( {mx - 8} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = mx - 8 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 9 = m \Leftrightarrow x - 2 + \frac{9}{x} = m\,\,\,\left( {do\,\,x > 1} \right)\) (2)

Phương trình (1) có 2 nghiệm thực phân biệt <=> Phương trình (2) có 2 nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1 (*)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x - 2 + \frac{9}{x},x > 1\)   có \(f'\left( x \right) = 1 - \frac{9}{{{x^2}}},f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Bảng biến thiên:

\

(*)  \( \Leftrightarrow 4 < m < 8\) Mà \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {5;6;7} \right\}\): có 3 giá trị của m thỏa mãn.