Cho khối chóp tứ giác đều  S.ABCD có thể tích bằng a3 và đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

* Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, I là trung điểm của BC.

Ta có:  \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{a^2}.SO = {a^3} \Rightarrow SO = 3a\)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{OI \bot BC}\\
{SI \bot BC}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SOI} \right)} \right.\)

Ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC}\\
{BC \bot \left( {SOI} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\
{\left( {SOI} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI\,\,\,\,\,\,}\\
{\left( {SOI} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = OI}
\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {OI;SI} \right) = \angle SIO\)

\( \Rightarrow cos\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = cos\angle SIO = \frac{{OI}}{{SI}} = \frac{{OI}}{{\sqrt {O{I^2} + S{O^2}} }} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + 9{a^2}} }} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {37} }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {37} }}\)