Cho tứ diện ABCD có AC = 3a, BD = 4a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN

* Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm của AB.

Ta có:

MP là đường trung bình của tam giác \(ABD \Rightarrow MP//BD\) và \(MN = \frac{1}{2}BD = 2a\)

NP là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow NP//AC\) và \(NP = \frac{1}{2}AC = \frac{{3a}}{2}\)

Lại có \(AC \bot BD \Rightarrow MP \bot NP \Rightarrow \Delta MNP\) vuông tại P.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông MNP ta có:

\(MN = \sqrt {M{P^2} + N{P^2}}  = \sqrt {4{a^2} + \frac{{9{a^2}}}{4}}  = \frac{{5a}}{2}\)