Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều là cạnh bằng 2, tam giác ABC vuông tại B, \(BC = \sqrt 3 \).

* Hướng dẫn giải

Dựng E sao cho ABCE là hình bình hành như hình vẽ.

Ta có: AB // CE

\( \Rightarrow AB//\left( {CDE} \right) \supset CD \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDE} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {CDE} \right)} \right)\) với M là trung điểm của AB.

Gọi N là trung điểm của CE.

Tam giác ABD đều \( \Rightarrow MD \bot AB\) 

ABCE là hình bình hành có \(\angle ABC = {90^0}(gt) \Rightarrow ABCE\) là hình chữ nhật. (dhnb)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow MN//BC,BC \bot AB \Rightarrow MN \bot AB\\
 \Rightarrow AB \bot \left( {AND} \right) \Rightarrow CE \bot \left( {AND} \right)
\end{array}\) 

Trong (MND) kẻ \(MH \bot DN\) ta có: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MH \bot DN}\\
{MH \bot CE}
\end{array}} \right. \Rightarrow MH \bot \left( {CDE} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {CDE} \right)} \right) = MH = \frac{{\sqrt {11} }}{2}\) 

Tam giác ABD đều cạnh \(2 \Rightarrow DM = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \) 

Ta có: \(MN = BC = \sqrt 3  \Rightarrow \Delta MND\) cân tại \(M \Rightarrow H\) là trung điểm của ND.

Xét tam giác vuông MNH có \(NH = \sqrt {M{N^2} - M{H^2}}  = \sqrt {3 - \frac{{11}}{4}}  = \frac{1}{2} \Rightarrow ND = 2NH = 1\) 

Ta có: \(CE \bot \left( {MND} \right) \Rightarrow CE \bot DN \Rightarrow \Delta CDN\) vuông tại \(N \Rightarrow CD = \sqrt {D{N^2} + C{N^2}}  = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2 \)