Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đáy.

* Hướng dẫn giải

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Gọi \(I = AC \cap HK\)

Do ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD\) 

Mà HK // BD (H là đường trung bình của tam giác ABD)

\( \Rightarrow AC \bot HK \Rightarrow AI \bot BD\) 

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
AI \bot HK\\
AI \bot SH\,\,\left( {SH \bot ABCD} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow SI\) là hình chiếu của SA lên (SHK).

\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {SHK} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SI} \right) = \angle ISA.\) 

Gọi \(O = AC \cap BD\), áp dụng định lí Ta – lét ta có: \(\frac{{AI}}{{OA}} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AI = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

Tam giác SIA vuông tại \(I \Rightarrow \sin \angle ISA = \frac{{AI}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Vậy \(\sin \angle \left( {SA;\left( {SHK} \right)} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)